ALJABAR

Kompetensi dasar

Menjelaskan bentuk aljabar dan melakukan operasi pada bentuk aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian)

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk aljabar dan operasi pada bentuk aljabar

 

A.   PENDAHULUAN

Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang berurusan dengan objek matematika (katakanlah bilangan yang tidak diketahui nilai persisnya), dan menggunakan lambang seperti x dan y ketika mempelajarinya.

Dalam aljabar, sifat-sifat yang dimiliki oleh operasi yang dapat dilakukan pada objek tersebut (bayangkan penjumlahan dan perkalian) dipelajari, dan kemudian menjadi ‘senjata’ ketika kita berhadapan dengan suatu masalah terkait objek tersebut.

Pada abad ke-8 hingga abad ke-12 Masehi, matematika pun berkembang di Timur Tengah, dan Al-Khwarizmi (780-850 M), seorang matematikawan asal Persia, mempelajari persamaan linear dan persamaan kuadrat secara sistematis. Karena karyanya itulah Al-Khwarizmi kemudian dianggap sebagai perintis bidang aljabar.

Untuk penegenalan selanjutnya, sekarang coba kalian perhatikan ilustrasi berikut ini:

Ø  Banyak boneka Bilqis lebihnya 4 dari boneka Rahma.
Ø Jika banyak boneka Rahma dinyatakan dengan x, maka banyak boneka Bilqis dinyatakan dengan x + 5.
Ø  Jika boneka Rahma sebanyak 4 buah maka boneka Bilqis sebanyak 9 buah.
Ø  Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.

 

B.   BENTUK ALJABAR

Bentuk aljabar adalah kalimat matematika yang memuat satu variabel atau lebih yang digunakan untuk mewakili bilangan/nilai yang belum diketahui.

Atau, Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar :

• a+5
• 4y
• x²+3x-28=0

Contoh pengekspresian dari kalimat biasa ke bentuk aljabar

Bentuk kalimat	Bentuk aljabar
Lebih 3 dari sebuah bilangan	x+3
3 ditambah suatu bilangan	3+x
3 dikurangi suatu bilangan	3-x
Selisih 3 dengan suatu bilangan	x-3
Dua kali dari suatu bilangan ditambah 8	2(x+8)
Dua kali dari 8 dikurangi suatu bilangan	2(8-x)
Dua kalinya dari delapan kali suatu bilangan	2(8x)
Sepertiga dari suatu nilai / membagi 3 suatu bilangan	x/3
Pangkat 3 dari suatu nilai	x3
3 dibagi suatu bilangan	3/x

dan masih banyak lagi bentuk aljabar yang bisa kita temukan.

 

C.   UNSUR ALJABAR

Pada bentuk aljabar dikenal beberapa unsur, yaitu:

1.    Variabel / peubah

Lambang pengganti suatu bilangan atau nilai yang belum diketahui secara pasti
Biasanya variabel dilambangkan engan huruf kecil, misalnya a, b, c, ...x, y, z.
Perhatikan bentuk aljabar 4x + 3y + 9.

Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.

2.    Koefisien

Faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Biasanya koefisien berupa angka atau bilangan.
Atau secara singkat adalah bilangan yang memiliki variabel pada bentuk aljabar

3.    Konstanta

Suku pada bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel

4.    Suku 

Variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Berdasar jumlah sukunya, suku aljabar terbagi menjadi:

a.    Suku satu (monomial)

Aljabar yang hanya memiliki 1 suku dan bentuk operasi aljabar tidak dihubungkan oleh tanda penjumlahan.

Contoh:

§  4a

§  -7xy

§  12x²

§  -5a²bc³

b.    Suku dua (binomial)

Aljabar yang hanya memiliki 3 suku dan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih

Contoh:

§  2p + 15

§  3a - 2b

§  -6m³ + 5mn

c.    Suku tiga (trinomial)

Aljabar yang hanya memiliki 3 suku dan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Contoh:

§  8x – 4y + 9

§  6x² + 3xy – 8y²

§  2a – 5ab + 4c

d.    Suku banyak (polinomial)

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari tiga suku disebut suku banyak atau polinom.

Contoh:

§  9x³ – 4x²y – 5x + 8y – 7y²

§  2x⁴ – 5x³ – 4x² + 7x

 

Selain macam-macam suku di atas, dalam bentuk aljabar juga mengenal istilah

a.    Suku-suku sejenis

Adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Contoh:

§  5x dan –2y;

§  y dan 4y

b.    Suku tak sejenis

Adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh:

§  2x dan –3x²

§  –y dan –x³

§  5x dan –2y

5.    Faktor

  Faktor adalah bilangan yang membagi habis suatu bilangan lain atau suatu hasil kali.

Untuk memahami pengertian atau definisi dari faktor, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

§  2 × 3 × 5, atau dapat juga ditulis 2 ∙ 3 ∙ 5

   2, 3, dan 5 masing-masing disebut faktor.

§  a x b x c atau a ∙ b ∙ c atau abc

   a, b, dan c masing-masing disebut faktor.

§  (2x – 5)(3x + 15) memiliki faktor (2x – 5) dan (3x + 15)

Next....

Read More

RELASI DAN PENYAJIANNYA

A.   PENGERTIAN

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Secara singkat, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Pokok-pokok utama dalam suatu relasi adalah sebagai berikut:

v  Relasi yaitu aturan hubungan

v  Domain atau daerah asal.

v  Kodomain atau daerah lawan.

v  Range atau daerah hasil yaitu anggota kodomain yang mempunyai pasangan dari domain]

 

 

 

 Bagian-bagian dari diagram relasi tersebut:

v  Relasi

     >Ditunjukkan oleh garis biru (f).

v  Himpunan pertama disebut domain atau daerah asal.

     >Ditunjukkan oleh daerah ungu

v  Himpunan kedua disebut kodomain atau daerah lawan.

     >Ditunjukkan oleh daerah merah jambu

v Anggota kodomain yang mempunyai pasangan dari domain akan disebut range atau daerah hasil.

    >Ditunjukkan oleh anggota daerah kuning. Atau ditandai sebagai anggota-anggota kodomain yang memiliki garis panah dari anggota domain.

 

B.   MENYATAKAN RELASI

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu:

1.    Dengan Diagram panah,

2.    Dengan Himpunan pasangan berurutan, dan

3.    Dengan Diagram Cartesius.

Ketiganya selalu digunakan. Bagaimana tentang perbedaannya, berikut penjelasannya.

1.    Diagram panah

Telah dibicarakan bahwa dari dua himpunan dapat dibentuk relasi antara anggota-anggotanya. Relasi dinyatakan dalam bentuk diagram panah

Misalnya, antara himpunan anak: A={Sherin, Rudi, Ibnu, Amar, Reva} dan himpunan makanan : B={Mi ayam, Bakso, Soto, Donat, Cokelat} terdapat relasi “makanan kesukaan”.

Diagram berikut menunjukkan relasi makanan kesukaan dari himpunan A ke Himpunan B.

Anggota himpunan A yang berrelasi dengan anggota himpunan B ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu diagramnya disebut dengan diagram panah.

  

Dari gambar tersebut, diketahui:

Sherin à Donat, berarti Sherin makanan kesukaannya adalah donat

Rudi à Bakso, berarti Rudi makanan kesukaannya adalah bakso

Ibnu à Cokelat, berarti Ibnu makanan kesukaannya adalah cokelat

Amar à Mi ayam, berarti Amar makanan kesukaannya adalah mi ayam

Reva à Cokelat, berarti Reva makanan kesukaannya adalah Cokelat

 

Berdasarkan diagram tersebut, dapat dilihat bahwa:

Domainnya: A = {Sherin, Rudi, Ibnu, Amar, Reva}

Kodomain: B = {Mi ayam, Bakso, Soto, Donat, Cokelat}

Range: R_f = {Mi ayam, Bakso, Donat, Cokelat}

Contoh lain dari relasi yang berbentuk angka.

  

Keterangan :

Relasi: Faktor dari

Domain: A = { 2, 4, 6}

Kodomain: B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range: R = {2, 4, 6, 8, 10}

 

2.    Diagram Cartesius

Pada diagram Cartesius, diagram relasi himpunan A ke himpunan B diyatakan sebagai berikut:

a. Anggota A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar (horizontal)

b.    Anggota B sebagai himpunan kedua ditempatkan pada sumbu tegak (vertikal)

c. Setiap anggota A yang berrelasi dengan anggota himpunan B ditandai dengan sebuah noktah (·)

Jika relasi pada diagram panah di atas disajikan dalam diagram Cartesius, maka seperti berikut :

 

 

3.    Himpunan pasangan berurutan

Relasi dua himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut (x, y) dengan x Î A dan y Î B.

Bentuk penyajian himpunan pasangan berurut pada relasi di contoh atas adalah

{(2,2), (2,4), (2, 6), (2,10), (4, 4), (4, 8), (6, 6)}.

Sekian dulu materi tentang Relasi dan Penyajiannya. Sampai bertemu di materi Fungsi dan Pemetaan.

Read More

RINDU PIKNIK

Wah, sudah berapa bulan ini sosial distanching di Indonesia?

Sejak bulan Maret 2020 bukan?!?!

Ah, entahlah. 

Dimasa pandemi ini masyarakat dipaksa lebih memperhatikan kebersihan diri, menjaga jarak, dan yang lebih penting dan mendadak..dipaksa belajar IT.

Saya ibu sekaligus pengajar. Jadi, selama pendemi ini tentu perlu putar akal, bagaimana ilmu tetap tersalurkan seoptimal mungkin kepada siswa. Diantaranya bisa melalui blog, youtube, media sosial, dll. Di sini keterampilan guru diuji lagi. Semua pihak dipaksa belajar ulang. 

Di sisi lain saya merasa ada pemacu untuk belajar otodidak, dari satu webinar ke webinar lain. Di sisi lain merasa senang karena apa yang sudah digiatkan sejak lama jadi lebih 'temonjo', berdaya guna.

Tapi namanya Saya, cepet habis dayanya. Tiba waktunya datang rasa jenuh ketika terbentur pada masalah yang tanpa ada penunjuk jalan keluarnya. Nggak ada yang bisa ditanya. Aduh rasanya pengen membenamkan diri ke kolam. Tapi, Covid-19. 

Ya, sudah. Pending dulu, bertahan dulu. Sambil ngubek-ubek foto lama yang rajin saya kumpulkan di telepon genggam yang beralih nama jadi smartphone.

Adem lagi batinnya kalau sudah memandang foto alam terbuka. Pokoknya selain logam dan batu-bata.

Jalan-jalan sore di sisi Bandung

Berkeliaran di Jogjakarta

Sebenarnya banyak lagi yang sudah direncanakan tapi harus dibatalkan karena pandemi ini. Ada sederet daftar kota yang ingin dikunjungi. Entah untuk mengenal keistimewaannya. Entah untuk menikmati godaan-godaan kulinernya.

Tapi, setiap kejadian selalu ada hikmahnya. Ada sisi positif yang bisa diambil dari setiap peristiwa. Jadi, nikmati setiap prosesnya dengan kesabaran. Kesabaran memang harus selalu diasah, ditingkatkan kapasitasnya.

Read More